一道捡来的题。
向量a=[t+2,t*t-cos(v)*cos(v)],b=[u,u/2+sin(v)],
t,u,v为实数，
若a=2b，求：
1）u的取值范围
2）t/u的最大和最小值。
前些天的事了。老婆道边被人塞了套卷子，随便选了两道，给孩子看，她第一步列出了俩关系：
t+2=u
t*t-cos(v)*cos(v)=u+2sinv
然后孩子开始又找第三个关系，用什么平行定理，然后就掉坑里去了。
首先，问孩子为什么要找第三个关系，她说因为有三个未知数。问她有三个未知数，再加上三个关系，就能解出三个未知数吗？你再看看你已经建立的两个关系，和你以前遇到的有什么不同？不是一次式，能解出来的都是一次关系。为什么有三个关系和三个未知数解出的不是一组唯一的值呢？这部分现在讲太早，等你讲立体解析几何的时候会讲到，通常解出来的是个范围，把这三个数做坐标作图，通常是个表面很有意思的立体的东西。
这一步先总结一下，我们讨论你得到了什么，三个变量+三个一次关系才能得到唯一解，其他类型的关系不一定是唯一解。再上升一个层次，运用其他知识的时候，数学物理化学，甚至文科的内容，你要用到某些规律解决问题的时候，一定要考虑这个问题的条件是不是与你要用的规律的条件限制相符合。狗戴嚼子——胡勒，说的就是这个意思，嚼子是给牛用的。我以前要求你写题的时候要完备严密，现在你思考的时候选方向一开始尽量要啥都去想，但你想沿着这个路走下去的时候，给你个新要求，也要严密，尝试要有，但看好是不是胡勒。
其次，你看看这道题的要求，第一，求的是一个未知数的取值范围，第二，求的是最大值和最小值，除了是两个问以外，还有什么潜在的意思？判断一下u会是一个确定的值么？如果以你的假设t也必然是个确定的值，那么求t/u的最大最小值，，，，，，，你想想u最大可能是什么样子的？多半是区间吧？如果是个确定的值，这个题就太简单了，分值明显过高了，这个猜测不难估计出来，只要你认真审题，拿到这个，多半不会去尝试前一个想法。排除了很多不可能，那么解题那条路就快在眼前了。
审题，还是审题，象破案一样审题。
最次，在尝试用平行建立关系的时候你得到了什么？得到了前面那两个关系，那么意味着什么？结论只有一个——平行关系实际上被包含在前面你得到的那两个关系里面了，通过平行你无法得到第三个关系。到这一步，怎么办？回头再去找线索。
总结一下这一步，从初中开始你们就学了建立关系方程，在实际中也肯定遇到过找关系找回到已经建立好的关系上的情况，你也肯定知道下一步该怎么做——再找别的关系。从这道具体题里，你肯定可以得出这个结论，一个向量与另一个向量是正比关系的时候，在分向量的倍数关系里已经包含了平行关系。
这道题做到现在，似乎是没头绪了。没头绪的时候，继续想肯定是必须的，但想不出的时候要去试。已经建立的那两个关系，还没经过处理，研究研究，或者代进去归类化简看看：
u*u-3u+4=-sin(v)*sin(v)+2sin(v)+1
两个二次式，再想想问题：u的取值范围：如果单看左边，u的取值范围是实数，没法算，再琢磨琢磨u的取值范围是什么东西？f(u)=u*u-3u+4的定义域，，，，，，，这道题的问题里看，明显有什么东西限制了它的定义域，是什么？想不到值域我踢你，看右面，这个东西的值域不就是划拉两下的事么。
做到这一步，似乎还有什么东西没考虑到，就是个感觉。t干什么去了？t会不会通过影响v进而影响u的取值范围呢？如果把第一个关系代入第二个关系，会得到t与sin(v)的关系，进而得到t的取值范围，但是，这说明不了什么。仔细想这个代入过程，实际上是sin(v)影响了u，进而通过第一个关系影响到t,因为t与sin(v)没有额外的关系，u、t反过来考虑也是一样，所以，不会出现担心的结果。实际上代入第一个关系就承认了u与t的线性关系，有这个关系在，就是说已经用了这个关系，那么t是不会因为这个额外再改变u的，实际上又回到了上面对关系的认识问题，尽管多虑，但是能够强化认识。
实际上这道题很简单，给的就是个函数关系，求的是定义域。没别的特殊条件，定义域必然是由值域决定，因为有三角函数存在，所以这个值域才有特殊性，求起来才显得有那么点儿意思。解这题运用的知识都是基础的基础。学透的孩子，做完这道题，两分钟足够了，对我孩子，这肯定是奢望，知识需要积累，运用知识的能力一样也需要积累，罗马不是一天建成的。
没学透的孩子，还没建立这种敏锐的洞察力和联想能力，那么带她做这个笨笨的推理过程也是找到答案的一条路，我自己做题很多都是这么做出来的，或许能对她有所启发，强化知识点的同时，也勉强算个思维训练吧。思维过程表达出来很长很啰嗦，但实际如果真的能够在脑袋里正常走，不掉坑里，很快的，都是瞬间的事。很多时候想半天想不出来，并不是这个思维本身费时，一是没整体规划，没套路，一堆乱毛线里转圈玩，漏掉了关键的东西，二是掉坑里了，只有掉坑里才费时间。让孩子试着在脑袋里塞条狗，控制程序里常用的watch dog,一切都正常的时候间隔一段时间喂一下，掉坑里了肯定想不起来喂，那么狗叫会把你拖回现实。整体规划和套路，体现在草纸上，可以胡乱画，自己明白就行，这些东西当被狗唤回现实的时候，可以选择重用，不用每次都从头重来，草纸不都是演算用的。孩子说有的时候当时想不出来就先做别的，过后往往回头再看就会了，这也是个办法，草纸和狗有好的地方，也有不好的地方，草纸很可能第二次把自己带坑里去了，狗可能让你在某个方向上浅尝辄止。工具不都是万能的，知道有这东西，知道怎么用，但实际中选择最佳的工具未必是第一要务。很可能别人看着不顺手的东西，在你就是万能的，自己擅长不擅长用也是要考虑一个方面，条条大路通罗马。 |
